Instabilité de Turing dans l'activateur quantique

Oct 15, 2023

Rapports scientifiques volume 12, Numéro d'article : 15573 (2022) Citer cet article

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L'instabilité de Turing est un mécanisme fondamental de l'auto-organisation hors d'équilibre. Cependant, malgré l'universalité de son mécanisme essentiel, l'instabilité de Turing a jusqu'à présent été étudiée principalement dans les systèmes classiques. Dans cette étude, nous montrons que l'instabilité de Turing peut se produire dans un système dissipatif quantique et analysons ses caractéristiques quantiques telles que l'intrication et l'effet de la mesure. Nous proposons un oscillateur paramétrique dégénéré avec amortissement non linéaire en optique quantique en tant qu'unité activateur-inhibiteur quantique et démontrons qu'un système de deux de ces unités peut subir une instabilité de Turing lorsqu'elles sont couplées de manière diffusive. L'instabilité de Turing induit une non-uniformité et un enchevêtrement entre les deux unités et donne lieu à une paire d'états non uniformes qui sont mélangés en raison du bruit quantique. La poursuite de la mesure continue sur le système couplé révèle la non-uniformité causée par l'instabilité de Turing. Nos résultats étendent l'universalité du mécanisme de Turing au domaine quantique et peuvent fournir une nouvelle perspective sur la possibilité d'auto-organisation quantique hors d'équilibre et son application dans les technologies quantiques.

La nature affiche une variété d'ordres qui sont auto-organisés via une rupture de symétrie spontanée causée par des interactions internes au sein des systèmes, telles que l'aimantation spontanée, la croissance cristalline et la supraconductivité1,2,3. En particulier, les systèmes ouverts hors d'équilibre peuvent prendre en charge une grande variété de modèles auto-organisés qui ne peuvent pas se produire dans les systèmes d'équilibre, appelés structures dissipatives. Des exemples de structures dissipatives comprennent les modèles de convection de fluide, les oscillations laser, les ondes et modèles chimiques, et les modèles et rythmes biologiques4,5,6. L'auto-organisation et la formation de motifs ont également été étudiées dans des systèmes quantiques tels que les condensats atomiques de Bose-Einstein et les ions piégés7,8, les systèmes optomécaniques9 et les points quantiques10. La synchronisation quantique11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22, qui a récemment suscité un intérêt croissant, est également un exemple d'auto-organisation quantique hors équilibre.

En 1952, Turing a montré que la différence entre les diffusivités des espèces chimiques en réaction peut déstabiliser des états stationnaires uniformes et provoquer l'émergence spontanée de motifs périodiques non uniformes dans des systèmes spatialement étendus23. En 1972, Gierer et Meinhardt ont fourni une explication intuitive de l'instabilité de Turing en introduisant le concept désormais bien connu de systèmes activateur-inhibiteur avec auto-amélioration locale et inhibition à longue portée24. Plus tard, l'instabilité de Turing et les modèles résultants ont été étudiés dans divers systèmes, tels que ceux subissant des réactions chimiques25,26,27 ou une morphogenèse biologique28,29,30, des populations écologiques31,32,33 et des systèmes optiques non linéaires34,35,36,37, 38,39,40. Les modèles de Turing ont également été théoriquement étudiés dans les systèmes stochastiques41,42,43,44 et les systèmes en réseau45,46,47,48,49. La première réalisation expérimentale des motifs de Turing a été réalisée en 199050, 40 ans après l'article fondateur de Turing, suivie de la première détermination expérimentale du diagramme de bifurcation51, en utilisant la réaction chlorite-iodure-acide malonique dans un réacteur à gel. Les progrès récents et les discussions modernes sur l'instabilité de Turing ont été passés en revue, par exemple dans la réf.52 et incluent divers nouveaux aspects des modèles de Turing, notamment l'instabilité dans les systèmes multi-espèces53,54, les influences de la croissance du domaine55,56,57,58 et les effets de retard et bruit59.

Les développements récents en nanotechnologie ont stimulé les recherches théoriques et expérimentales sur l'instabilité de type Turing et les modèles dans les systèmes à micro et nano-échelle, tels que les ondes parasites dans une cavité avec des molécules de points quantiques60, le milieu Kerr vectoriel61, la génération de deuxième harmonique intracavité62, les microrésonateurs longitudinaux63, Kerr -des microrésonateurs actifs64, des microcavités semiconductrices65 et une monocouche de bismuth66. Par conséquent, l'analyse systématique de la possibilité d'instabilité de Turing dans les systèmes quantiques devient importante. Dans cette direction de recherche, des études pionnières sur les systèmes optiques non linéaires, par exemple les oscillateurs paramétriques optiques38,39,40, ont envisagé la possibilité de formation de motifs via l'instabilité de type Turing34 et discuté des effets des fluctuations quantiques35 et de la compression quantique36. Cependant, en raison de la difficulté à manipuler une hiérarchie infinie d'équations pour les produits d'opérateurs, l'analyse a été limitée au cas pouvant être traité via l'équation différentielle stochastique approchée des champs classiques soumis à des fluctuations quantiques37.

Récemment, en utilisant une équation maîtresse entièrement mécanique quantique, la bifurcation dans un système d'une paire d'oscillateurs quantiques Stuart – Landau couplés de l'état de mort d'amplitude uniforme à l'état de mort d'oscillation non uniforme a été discutée67,68,69, qui peut être considérée comme une manifestation quantique de la bifurcation de type Turing analysée à l'origine dans un système classique70. Bien que cette bifurcation soit intéressante, il ne s'agit pas exactement de l'instabilité de Turing au sens originel car le système considéré n'est pas de type activateur-inhibiteur et ne possède pas d'état stationnaire homogène lorsque le couplage est absent70. De plus, la relation entre la bifurcation de Turing et les caractéristiques quantiques, telles que l'intrication quantique et la mesure quantique, n'a pas été étudiée dans ces articles67,68,69.

Dans cette étude, nous analysons l'instabilité de Turing au sens original de Turing23 et Gierer et Meinhardt24 dans les systèmes quantiques dissipatifs dans le cadre le plus simple, c'est-à-dire dans une paire d'unités couplées symétriquement, en fournissant un modèle minimal de systèmes quantiques activateur-inhibiteur. Nous montrons qu'un oscillateur paramétrique dégénéré avec amortissement non linéaire peut se comporter comme une unité activateur-inhibiteur quantique et que le couplage diffusif entre deux de ces unités peut induire une instabilité de Turing et conduire à une non-uniformité et à un enchevêtrement entre les deux unités, ce qui donne lieu à une paire d'éléments non uniformes. états symétriquement mélangés à cause du bruit quantique. Nous démontrons en outre que l'exécution de mesures continues sur le système couplé brise cette symétrie et révèle la véritable asymétrie causée par l'instabilité de Turing. Un diagramme schématique est illustré à la Fig. 1.

Instabilité quantique de Turing. ( a ) Paire d'unités activateur-inhibiteur quantique. (b) Le couplage diffusif entre les deux unités peut induire une instabilité de Turing, ce qui conduit à une non-uniformité et à un enchevêtrement entre les unités et produit une paire d'états non uniformes qui sont symétriquement mélangés en raison du bruit quantique. (c) La poursuite de la mesure continue sur les deux unités peut briser la symétrie et révéler l'asymétrie causée par l'instabilité de Turing.

Nous montrons d'abord qu'un oscillateur paramétrique dégénéré monomode avec amortissement non linéaire en optique quantique71 peut être considéré comme une unité activateur-inhibiteur quantique en ce sens que la trajectoire déterministe du système dans la limite classique obéit à une dynamique activateur-inhibiteur conventionnelle.

On note par \(\omega _{0}\) la fréquence de résonance de la cavité et par \(\omega _{p}\) la fréquence du faisceau pompe de compression. Dans le référentiel tournant de fréquence \(\omega _{p}/2\), l'évolution de l'opérateur de densité \(\rho\) représentant l'état du système obéit à l'équation maîtresse quantique (QME)71

où \([A, B] = AB - BA\) est le commutateur de deux opérateurs A et B, a est l'opérateur d'annihilation qui soustrait un photon du système, \(a^{\dag }\) est la création opérateur qui ajoute un photon au système (\(\dag\) désigne le conjugué hermitien), \(\Delta = \omega _{0} - \omega _{p}/2\) est le désaccord de la fréquence de résonance du système à partir de la demi-fréquence du faisceau de pompe, \(\eta e^{ i \theta }\) (\(\eta \ge 0\)) est le paramètre de compression représentant l'amplitude effective du faisceau de pompe, \ ({\mathcal {D}}[L]\rho = L \rho L^{\dag } - (\rho L^{\dag } L - L^{\dag } L \rho )/2\) est la forme Lindblad représentant le couplage du système avec les réservoirs par l'opérateur L (\(L=a\) ou \(L=a^2\)), et \(\gamma _{1}~(>0) \) et \(\gamma _{2}~(>0)\) sont les taux de décroissance pour l'amortissement linéaire et non linéaire, c'est-à-dire la perte à photon unique et à deux photons, respectivement, due au couplage du système avec le réservoirs respectifs. La constante de Planck réduite est définie comme \(\hbar = 1\).

Nous employons la méthode de l'espace des phases72,73 et utilisons la distribution de Wigner W(x, p) comme distribution de quasi-probabilité pour représenter l'opérateur de densité \(\rho\), où x et p désignent la position et la quantité de mouvement dans l'espace des phases, respectivement. En utilisant cette approche, nous pouvons transformer le QME en l'équation d'évolution de W(x, p) sur l'espace des phases, qui a généralement des termes dérivés supérieurs au second ordre. Lorsque \(\gamma _2\) est petit, on peut négliger les termes dérivés d'ordre supérieur, et l'équation d'évolution de W(x, p) correspondant à QME (1) peut être approchée par une équation semi-classique de Fokker-Planck (FPE) ou l'équation différentielle stochastique correspondante (SDE). La trajectoire déterministe dans la limite classique de QME (1), qui néglige l'effet du petit bruit quantique et est donnée par la partie déterministe de la SDE, obéit au système bidimensionnel suivant :

Voir "Méthodes" pour la dérivation détaillée des équations et la caractérisation du régime quantique.

En choisissant convenablement les paramètres, le système classique (2) obéit à la dynamique activateur-inhibiteur (voir "Méthodes"). Nous avons défini les paramètres de telle sorte que la position x et l'impulsion p jouent respectivement le rôle des variables activatrices et inhibitrices, à savoir que x améliore de manière autocatalytique sa propre production tandis que p supprime la croissance de x. On note que le système sans amortissement non linéaire peut également se comporter comme une unité activateur-inhibiteur quantique, mais l'amortissement non linéaire est nécessaire pour empêcher l'état du système de diverger à l'infini après déstabilisation à l'origine.

La figure 2a montre le champ vectoriel déterministe de l'Eq. (2), où les deux courbes représentent les nullclines de x et p (sur lesquelles \({\dot{x}} = 0\) ou \({\dot{p}} = 0\)) et leur intersection à \ ((x,p) = (0, 0)\) correspond à un point fixe stable. La figure 2b montre un nuage de points d'une seule trajectoire de la SDE semi-classique obtenue par des simulations numériques directes (DNS) en régime permanent (voir "Méthodes"), et la figure 2c montre la distribution stationnaire de Wigner obtenue à partir de QME (1). La trajectoire semi-classique et la distribution de Wigner sont distribuées autour du point fixe classique à l'origine en raison du bruit quantique.

Unité activateur-inhibiteur quantique. (a) Nullclines du champ vectoriel déterministe de l'Eq. (2). Les courbes bleues et vertes indiquent les ensembles (x, p) satisfaisant \({\dot{x}} = 0\) et \({\dot{p}} = 0\), respectivement. (b) Trajectoire stochastique de (x, p) obtenue à partir de l'EDS semi-classique. (c) Distribution de Wigner stationnaire W(x, p) obtenue à partir du QME. Les paramètres sont \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 0,4, \gamma _{2} = 0,1, \theta = \pi\) et \(\eta = 0,3\).

Dans l'instabilité de Turing classique, l'état stationnaire uniforme des systèmes activateur-inhibiteur distribués dans l'espace est déstabilisé lorsque la diffusion des espèces activatrices et inhibitrices avec une diffusivité appropriée est introduite, conduisant à la formation d'états non uniformes23. Dans le cadre le plus simple, cette instabilité de Turing contre-intuitive peut déjà être observée dans un système composé de deux unités activateur-inhibiteur couplées de manière diffusive avec des propriétés identiques : un état stationnaire uniforme du système, dans lequel les deux unités prennent les mêmes états, se déstabilise lorsque les diffusivités sont choisies de manière appropriée, ce qui entraîne la formation d'un état stationnaire non uniforme, dans lequel les deux unités s'installent dans des états différents l'une de l'autre.

En tant que modèle quantique qui subit une instabilité de Turing, nous couplons par diffusion deux unités activateur-inhibiteur quantiques identiques (notées 1 et 2), chacune obéissant à l'Eq. (1). Le système couplé des deux unités est décrit par un opérateur de densité à deux modes \(\rho\), qui obéit à la QME

où \(a_j\) et \(a_j^{\dag }\) sont les opérateurs d'annihilation et de création pour la jème unité quantique activateur-inhibiteur (\(j = 1, 2\)), respectivement. Les paramètres \(\Delta , \eta e^{ i \theta }, \gamma _1\) et \(\gamma _2\) sont communs aux deux unités. Dans cette équation, la première ligne représente les deux unités monomodes données par Eq. (1), et les termes nouvellement introduits dans la deuxième ligne représentent le couplage entre les deux unités. Le premier terme de couplage peut être représenté comme une somme de termes de compression, c'est-à-dire \(- i \left[ i \frac{D_{h}}{4} \left\{ (a_1 - a_2)^2 \right. \ droite.\) \(\left. \left. - (a_1^\dag - a_2^\dag )^2 \right\} , \rho \right] = \sum _{j=1,2} \left( -i \left[ i \frac{D_{h}}{4} ( a_{j}^2 - a_{j}^{\dag 2}), \rho \right] \right) -i \left[ i \frac{D_{h}}{2} ( a_{1}^{\dag } a_{2}^{\dag } - a_{1} a_{2}), \rho \right]\), qui peuvent être interprétés comme des hamiltoniens de compression monomode et bimode, respectivement. Le second terme avec \(D_{c}\) représente le couplage dissipatif, c'est-à-dire un couplage résultant de processus dissipatifs12,14. On note que l'Eq. (3) est symétrique par rapport à l'échange des unités 1 et 2.

En utilisant la méthode de l'espace des phases pour les systèmes à deux modes, la dynamique déterministe dans la limite classique de QME (3) peut être dérivée comme (voir "Méthodes")

où \(x_j\) et \(p_j\) représentent la position et la quantité de mouvement de la jème unité dans l'espace des phases de la distribution bimodale de Wigner \(W(x_1, p_1, x_2, p_2)\)73. Nous voyons que deux unités activateur-inhibiteur classiques, chacune étant décrite par l'Eq. (2), sont couplés de manière diffusive via la position x (activateur) et la quantité de mouvement p (inhibiteur) par le dernier terme de chaque équation. Ces termes proviennent des hamiltoniens de compression monomode et bimode dont les intensités sont caractérisées par \(D_h\) et du couplage dissipatif dont l'intensité est caractérisée par \(D_c\) dans l'Eq. (3). Les constantes de diffusion de x et p dans l'Eq. (4) sont donnés par \(D_x = (D_{c} + D_{h})/2\) et \(D_p = (D_{c} - D_{h})/2\), respectivement. Il convient de noter que le premier terme caractérisé par \(D_h\) représente un couplage hamiltonien et non dissipatif, mais il agit comme un couplage dissipatif dans la dynamique déterministe dans la limite classique dans l'Eq. (4).

Le système couplé classique décrit par Eq. (4) peut subir une instabilité de Turing lorsque les conditions d'auto-amélioration locale et d'inhibition à longue distance sont satisfaites (voir "Méthodes"). Par conséquent, le système activateur-inhibiteur quantique, Eq. (3), devrait également présenter une instabilité de Turing lorsque les valeurs des paramètres sont choisies de manière appropriée. Notre objectif dans cette étude est de clarifier si l'instabilité de Turing peut se produire dans le cadre original activateur-inhibiteur dans le cadre le plus simple des systèmes dissipatifs quantiques. Nous notons que les exigences d'un couple activateur-inhibiteur couplé ou l'existence d'une solution homogène peuvent être assouplies lorsque l'on considère des modèles plus généraux53,54,55,56,57,58,59. Dans cette étude, nous nous concentrons sur le cas le plus simple d'une paire d'unités activateur-inhibiteur quantiques couplées symétriquement et discutons de l'instabilité quantique de Turing au sens original de Turing23 et Gierer-Meinhardt24. En raison de sa simplicité, le modèle permet les simulations numériques directes de la dynamique quantique et est le plus propice à l'expérimentation.

Le système déterministe (4) a un point fixe à l'origine de l'espace des phases à 4 dimensions, c'est-à-dire \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (0, 0, 0, 0)\), qui est stable lorsque le couplage diffusif est absent, c'est-à-dire \(D_x = D_p = 0\). Les deux unités 1 et 2 s'installent à l'origine, c'est-à-dire \((x_j, p_j) = (0, 0)\) pour \(j=1, 2\) ; par conséquent, l'ensemble du système prend un état uniforme. Lorsque le couplage diffusif avec des diffusivités appropriées est introduit, cet état uniforme est déstabilisé par l'instabilité de Turing, et à la place, une paire de points fixes non uniformes stables apparaît à \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (\pm A,\pm B,{\mp } A, {\mp } B)\) du système classique déterministe (4) (voir "Méthodes").

De même, dans le système quantique (3), lorsque le couplage diffusif est absent (\(D_x = D_p = 0\)), l'état de chaque unité se localise autour du point fixe stable à (0, 0) comme le montre la Fig. 2a . Ainsi, les deux unités obéissent à la même distribution et l'ensemble du système est dans l'état uniforme. Cependant, lorsque les constantes de diffusion sont convenablement choisies, cet état uniforme est déstabilisé par l'instabilité de Turing et cède la place à des états non uniformes comme démontré ci-dessous.

La figure 3 montre l'instabilité de Turing dans le régime semi-classique observée par les DNS de QME (3). Les mêmes paramètres que sur la Fig. 2 sont supposés pour les deux unités. Les deux unités sont découplées (\(D_x = D_p = 0\)) sur les Fig. 3a, 3c, 3e, alors qu'elles sont couplées avec des constantes de diffusion appropriées (\(D_x = 0,005, D_p = 0,995\)) sur la Fig. 3b , 3d, 3f. Pour visualiser la non-uniformité de l'état du système \(\rho\), nous introduisons la distribution Q de Husimi à deux modes72,73 \(Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2 }\right) =\frac{1}{\pi ^{2}} \left\langle \alpha _1, \alpha _2 | \rho | \alpha _1, \alpha _2 \right\rangle\) avec \(\ alpha _j = x_j + i p_j~(j = 1, 2)\) et utiliser les distributions marginales \(Q(x_1,x_2) = \int \int dp_1 dp_2 Q\left( x_{1}, p_{1} , x_{2}, p_{2}\right)\) et \(Q(p_1,p_2) = \int \int dx_1 dx_2 Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2}\right)\) des variables de position (activateur) \(x_{1,2}\) et de momentum (inhibiteur) \(p_{1,2}\) calculées à partir de \(Q\left( x_{1}, p_{1}, x_{2}, p_{2}\droite)\).

Sur les figures 3a, 3c sans couplage diffusif, \(Q(x_1, x_2)\) et \(Q(p_1, p_2)\) sont répartis symétriquement autour de l'origine. Les variables des deux unités ne sont pas corrélées et présentent statistiquement la même distribution. Ainsi, l'état \(\rho\) de l'ensemble du système constitué des deux unités est symétrique et uniforme. En revanche, sur la Fig. 3b, 3d avec couplage diffusif, \(Q(x_1, x_2)\) n'est pas symétrique et prend deux extrema près des deux points fixes classiques \((x_1, x_2) = (A, -A) \) et \((-A, A)\), et de même \(Q(p_1, p_2)\) prend deux extrema près de \((p_1, p_2) = (B, -B)\) et \(( -B, B)\). Ainsi, les deux unités ont tendance à prendre des états opposés l'une à l'autre et l'état \(\rho\) de l'ensemble du système n'est pas uniforme. On note qu'en raison du bruit quantique, l'état du système est mixte et les distributions ont deux pics symétriques près des deux points fixes classiques.

Les figures 3e et 3f montrent les distributions marginales de Wigner \(W(x_1, p_1)\) et \(W(x_2, p_2)\) des unités 1 et 2 pour les cas sans (e) et avec (f) couplage diffusif. Ces fonctions de Wigner sont obtenues à partir des opérateurs de densité marginale \(\rho _1 = \mathrm{Tr}\,_2[\rho ]\) et \(\rho _2 = \mathrm{Tr}\,_1[\rho ]\ ), où \(\mathrm{Tr}\,_j[\cdot ]\) représente la trace partielle sur le système j dans le régime semi-classique. En raison de la symétrie des deux unités, \(W(x_1, p_1)\) et \(W(x_2, p_2)\) sont identiques l'une à l'autre. De plus, les distributions de Wigner sur la figure 3e sans couplage diffusif sont identiques à celles d'une seule unité illustrée sur la figure 2c. Sur la figure 3e sans couplage diffusif, les distributions de Wigner ont un seul pic à l'origine, alors que sur la figure 3f avec couplage diffusif, les distributions de Wigner ont deux pics symétriques près des deux points fixes stables \((x_1, p_1, x_2, p_2) = (\pm A,\pm B,{\mp } A, {\mp } B)\) du système classique déterministe (4) (voir "Méthodes").

Les résultats ci-dessus indiquent clairement que l'instabilité de Turing s'est effectivement produite et a entraîné la formation d'états stationnaires non uniformes dans deux unités d'activateur-inhibiteur quantique couplées par diffusion décrites par l'équation. (3). Dans ce régime, nous pouvons également effectuer des simulations numériques directes de la SDE correspondante, qui visualisent clairement la non-uniformité causée par l'instabilité de Turing (voir "Méthodes").

Instabilité de Turing dans une paire d'unités activateur-inhibiteur quantique couplées de manière diffusive dans le régime semi-classique. (a,b) Tracés 2D de la distribution Q \(Q(x_1, x_2)\). (c,d) Tracés 2D de la distribution Q \(Q(p_1, p_2)\). (e,f) Tracés 3D des distributions stationnaires de Wigner \(W(x_1, p_1)\) et \(W(x_2, p_2)\) des unités 1 et 2. Points rouges et jaunes dans (a–d) représentent des points fixes stables du système déterministe dans la limite classique. En (a,c,e), les deux unités sont découplées. Les états des unités ne sont pas corrélés et localisés autour de l'origine ; par conséquent, l'ensemble du système est dans un état uniforme. En (b,d,f), les deux unités sont couplées par diffusion. En raison de l'instabilité de Turing, les deux unités ont tendance à prendre des états différents l'une de l'autre ; par conséquent, l'ensemble du système est non uniforme. Dans (e,f), les distributions de Wigner pour les unités 1 et 2 sont identiques les unes aux autres et donc présentées sous la forme d'un seul graphique. Les paramètres des unités quantiques activateur-inhibiteur sont \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 0,4, \gamma _{2} = 0,1, \theta = \pi\) et \(\eta = 0.3\). Les constantes de diffusion sont \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) et \(D_c = 0\)) en (a,c,e) et \(D_x = 0.005\) et \(D_p = 0,995\) (\(D_h = -0,99\) et \(D_c = 1\)) dans (b,d,f).

Ensuite, nous montrons les résultats pour le régime quantique faible. Nous plaçons les paramètres de QME (3) dans un régime quantique plus profond tout en gardant le système déterministe dans la limite classique, Eq. (4), restent inchangés par rapport au cas semi-classique précédent. Voir "Méthodes" pour la caractérisation du régime quantique. La figure 4 montre l'instabilité de Turing dans ce régime. Les deux unités sont découplées sur les Fig. 4a, 4c, 4e, alors qu'elles sont couplées avec des constantes de diffusion appropriées sur les Fig. 4b, 4d, 4f.

Comme dans le cas semi-classique précédent, en l'absence de couplage diffusif, les distributions Q marginales \(Q(x_1,x_2)\) et \(Q(p_1, p_2)\) de l'activateur x et de l'inhibiteur p sont localisées symétriquement autour de l'origine sur les figures 4a, 4c. Lorsque le couplage diffusif est introduit, ces distributions conjointes deviennent non symétriques, ce qui indique que les deux unités sont anticorrélées et ont tendance à prendre les états opposés l'une de l'autre, comme le montrent les figures 4b, 4d. Dans ce régime, en raison du fort amortissement non linéaire, les deux points fixes stables dans la limite classique sont plus proches l'un de l'autre que dans le régime semi-classique. De même, la non-uniformité des distributions conjointes est moins prononcée que dans le cas semi-classique en raison de l'effet relativement fort du bruit quantique.

Instabilité de Turing dans une paire d'unités activateur-inhibiteur quantique couplées par diffusion dans le régime quantique faible. (a,b) Tracés 2D de la distribution Q \(Q(x_1, x_2)\). (c,d) Tracés 2D de la distribution Q \(Q(p_1, p_2)\). (e,f) Tracés 3D des distributions stationnaires de Wigner \(W(x_1, p_1)\) et \(W(x_2, p_2)\) des unités 1 et 2 (identiques l'une à l'autre). Les points rouges et jaunes en (a–d) représentent des points fixes stables du système déterministe dans la limite classique. En (a,c,e), les deux unités sont découplées. Les états des unités sont localisés autour de l'origine et non corrélés entre eux. En (b,d,f), les deux unités sont couplées par diffusion. En raison de l'instabilité de Turing, les deux unités ont tendance à prendre des états différents l'une de l'autre et à présenter une distribution non uniforme. Les paramètres des unités activateur-inhibiteur quantique sont \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 1,2, \gamma _{2} = 0,5, \theta = \pi\) et \(\eta = 0.3\). Les constantes de diffusion sont \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) et \(D_c = 0\)) en (a,c,e) et \(D_x = 0.005\) et \(D_p = 0,995\) (\(D_h = -0,99\) et \(D_c = 1\)) dans (b,d,f).

Les figures 4e et 4f montrent les distributions marginales de Wigner \(W(x_1, p_1)\) et \(W(x_2, p_2)\) des unités 1 et 2, identiques entre elles, avant (e) et après ( f) l'instabilité de Turing. Par rapport à la distribution de Wigner de la Fig. 4e avant l'instabilité de Turing, la distribution de Wigner de la Fig. 4f après l'instabilité est plus allongée le long de l'axe sur lequel existent les deux points fixes stables classiques, bien que les pics doubles symétriques comme dans le cas semi-classique soient non observé en raison de l'effet plus fort du bruit quantique.

Ainsi, bien que flouté par le bruit quantique, le système subit une transition de l'état uniforme à l'état non uniforme avec l'introduction du couplage diffusif, à savoir, l'instabilité de Turing se produit également dans le régime quantique considéré ici.

Nous considérons également un régime quantique fort avec un taux de décroissance plus important pour l'amortissement non linéaire. La figure 5 montre l'instabilité de Turing dans ce régime. Comme les fluctuations sont plus fortes que les deux cas précédents en raison de l'effet d'un bruit quantique plus fort, seule une légère non uniformité peut être observée. Comme indiqué plus loin, la non-uniformité entre les deux unités dans ce régime peut être observée plus clairement en utilisant une mesure continue.

Instabilité de Turing dans une paire d'unités activateur-inhibiteur quantique couplées par diffusion dans le régime quantique fort. (a,b) Tracés 2D de la distribution Q \(Q(x_1, x_2)\). (c,d) Tracés 2D de la distribution Q \(Q(p_1, p_2)\). (e,f) Tracés 3D des distributions stationnaires de Wigner \(W(x_1, p_1)\) et \(W(x_2, p_2)\) des unités 1 et 2 (identiques l'une à l'autre). Les points rouges et jaunes en (a–d) représentent des points fixes stables du système déterministe dans la limite classique. En (a,c,e), les deux unités sont découplées. Les états des unités sont localisés autour de l'origine et non corrélés entre eux. En (b,d,f), les deux unités sont couplées par diffusion. En raison de l'instabilité de Turing, les deux unités ont tendance à prendre des états différents l'une de l'autre et à présenter une distribution non uniforme. Les paramètres des unités quantiques activateur-inhibiteur sont \(\Delta = -0,6, \gamma _{1} = 6,2, \gamma _{2} = 3, \theta = \pi\) et \(\eta = 0.3\). Les constantes de diffusion sont \(D_x = D_p = 0\) (\(D_h = 0\) et \(D_c = 0\)) en (a,c,e) et \(D_x = 0.005\) et \(D_p = 0,995\) (\(D_h = -0,99\) et \(D_c = 1\)) dans (b,d,f).

Nous avons vu que l'instabilité de Turing se produit dans une paire d'unités activateur-inhibiteur quantique couplées de manière diffusive dans les régimes semi-classique, quantique faible et quantique fort. Ici, nous analysons la dépendance du comportement du système aux constantes de diffusion et la relation entre l'instabilité de Turing et l'intrication quantique. Nous utilisons les mêmes ensembles de paramètres pour les unités activateur-inhibiteur quantique que dans les Fig. 3, 4 et 5 pour les régimes semi-classique, quantique faible et quantique fort, respectivement.

La figure 6 trace la (i) valeur propre maximale \(\lambda _{max}\) de l'équation linéarisée de l'équation. (4) dans la limite classique (a, b), (ii) différence quadratique moyenne (RMSD) \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle } = \sqrt{\mathrm{Tr }\,[(x_1 - x_2)^2 \rho ]}\) quantifiant la non-uniformité entre les deux unités (c, d, e), et (iii) la négativité \(\mathcal{N}\) (voir "Méthodes ") caractérisant le degré d'intrication quantique (f, g, h) sur le plan \(D_x - D_p\), par rapport à l'état stationnaire de QME (3). Nous notons que les Fig. 6a et 6b sont communes à tous les régimes, les Figs. 6c et 6f sont pour le régime semi-classique, Figs. 6d et 6g sont pour le régime quantique faible, et les Figs. 6e et 6h sont pour le régime quantique fort.

Dépendance de la valeur propre, de la non-uniformité et de la négativité sur les constantes de diffusion \(D_x\) et \(D_p\). (a, b) Valeurs propres maximales \(\lambda _{max}\). (b) montre un agrandissement de (a) près de l'origine. (c,d,e) Distance quadratique moyenne \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\). (f,g,h) Négativité \({\mathcal {N}}\). Dans chaque figure, la courbe critique de l'instabilité de Turing dans la limite classique (ie, sur laquelle \(\lambda _{max} = 0\)) est représentée par une courbe en pointillé noir et le point rouge représente les diffusivités \( (D_x, D_p) = (0,005, 0,995)\) utilisé dans les Fig. 3, 4 et 5. Les paramètres sont \(\Delta = -0.6, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\) et \(\frac{2 \gamma _{2} - \ gamma _{1}}{2} = -0,1\), où \(\gamma _{1} = 0,4, \gamma _{2} = 0,1\) dans le régime semi-classique (c,f), \(\ gamma _{1} = 1,2, \gamma _{2} = 0,5\) dans le régime quantique faible (d,g), \(\gamma _{1} = 6,2, \gamma _{2} = 3\) dans le régime quantique fort (e,h).

Comme le montrent les Fig. 6a, 6b, la valeur propre \(\lambda _{max}\) de l'état uniforme est positive dans la région sous la courbe en pointillé, où la diffusivité de l'inhibiteur \(D_p\) est relativement grande par rapport à celui de l'activateur \(D_x\). On s'attend à ce que l'instabilité de Turing se produise également dans cette région du système quantique. Le point rouge (\(D_x = 0,005, D_p = 0,995\)) représente les constantes de diffusion dans la limite classique correspondant aux Figs. 3, 4 et 5.

La RMSD tracée sur les figures 6c à 6e montre que la non-uniformité est en effet causée par l'instabilité de Turing dans les régimes semi-classique, quantique faible et quantique fort et significativement corrélée avec la valeur propre maximale \(\lambda _{max}\) dans le limite classique. Il y a une tendance à ce que la non-uniformité soit plus fortement prononcée dans le régime semi-classique (c), modérément dans le régime quantique faible (d), et seulement faiblement dans le régime quantique fort (e), reflétant que le bruit quantique est plus faible et que l'état du système se localise plus clairement autour des deux points fixes classiques dans cet ordre (voir les figures 3, 4 et 5).

La négativité \(\mathcal{N}\) montrée sur la Fig. 6f–6h augmente également avec \(\lambda _{max}\), indiquant que l'intrication quantique entre les deux unités se produit également dans l'état non uniforme produit par le Turing instabilité. Ainsi, l'enchevêtrement a tendance à être corrélé positivement avec la non-uniformité entre les deux unités activateur-inhibiteur et devient plus fort dans la partie inférieure droite où \(D_x\) est petit tandis que \(D_p\) est grand dans cette région de paramètre. Il est à noter qu'une région élevée \ (\ mathcal {N} \) apparaît également lorsque \ (D_p \) est proche de zéro tandis que \ (D_x \) est relativement grand, ce qui est en dehors de la région instable de Turing et montre simplement que les deux unités sont déjà intriquées avant le début de l'instabilité de Turing par les effets de compression à deux modes et de couplage dissipatif.

Nous avons observé que l'instabilité de Turing déstabilise l'état uniforme du système de deux unités et donne lieu à la non-uniformité. Les distributions à l'état non uniforme sont localisées autour des deux points fixes classiques comme observé sur les Figs. 3, 4 et 5. Cela peut être interprété comme un état mixte mécaniquement quantique des deux situations classiques où le système converge vers l'un des deux points fixes stables. Ainsi, contrairement à l'instabilité de Turing classique dans laquelle un seul des deux états est réalisé en fonction des conditions initiales, la symétrie du système couplé est toujours préservée en raison du bruit quantique même si l'état du système est non uniforme. Ici, nous montrons que la poursuite de la mesure continue sur le système peut briser cette symétrie et révéler la véritable asymétrie du système, qui ne peut être observée que dans les systèmes quantiques. Une brisure de symétrie spontanée \({\mathbb {Z}}_2\) similaire induite par la mesure dans un système de chaîne de spin a été rapportée74.

Nous introduisons une mesure continue sur le bain d'amortissement linéaire (perte de photon unique) couplé à chaque unité dans QME (3). Les équations maîtresses stochastiques (EMC) décrivant le système et les résultats de mesure sont alors données par75

où la première équation décrit l'évolution stochastique de l'opérateur densité \(\rho\) de l'ensemble du système sous l'effet de la mesure et la seconde équation décrit le résultat \(Y_j\) (\(j=1, 2\) ) de la mesure sur chaque unité. Le terme \({\mathcal {H}}[L]\rho = L \rho + \rho L^{\dag } - \mathrm{Tr}\,[(L + L^\dagger ) \rho ]\ rho\) représente l'effet de la mesure effectuée sur la quadrature \(L + L^{\dag }\) ; \(\kappa _j\) et \(\phi _j~(0 \le \kappa _j \le 1, 0 \le \phi _j < 2 \pi )\) représentent le rendement et l'angle de quadrature de la mesure sur le jième unité \(~(j = 1,2)\), respectivement ; \(Y_j\) est la sortie du résultat de mesure sur la jème unité \(~(j = 1,2)\); et \(dW_{1}\) et \(dW_{2}\) représentent des processus de Wiener indépendants satisfaisant \(\langle {dW_k(t) dW_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) pour \(k,l = 1, 2\). Contrairement à QME, qui donne des résultats moyens sur tous les résultats de mesure possibles, ce SME donne une seule trajectoire quantique du système sous la mesure continue et peut révéler la brisure de symétrie du système, qui est préservée en raison du bruit quantique en régime permanent. de QME.

La figure 7 montre le comportement du système sous mesure continue dans le régime semi-classique. Les paramètres sont les mêmes que sur les figures 3b, 3d, 3f, à savoir que l'état uniforme du système a été déstabilisé par l'instabilité de Turing. Considérant que la non-uniformité est plus prononcée dans la variable de position x que dans la variable d'impulsion p sur la figure 3d, nous fixons \(\phi _j = 0\) et effectuons la mesure sur la quadrature \(x_j = (a_j + a_j^ \dag )/2\) (\(j=1, 2\)), qui est conjugué à la quantité de mouvement \(p_j\), des deux unités. Nous avons défini l'efficacité de mesure comme \(\kappa _j = 0,25\) (\(j = 1, 2\)) pour les deux unités et l'état initial de l'ensemble du système comme état de vide à deux modes.

Instabilité de Turing sous mesure quantique continue dans le régime semi-classique. (a,b) Graphiques instantanés 3D des distributions de Wigner \(W(x_1, p_1)\) et \(W(x_2, p_2)\) à \(t = 50\). (c,d,e,f) Évolution temporelle des valeurs moyennes des opérateurs de position et de quantité de mouvement pour deux unités : (c) \(\langle x_1 \rangle\), (d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\), et (f) \(\langle p_2 \rangle\). (g) Evolution temporelle de la négativité \(\mathcal{N}\). Les paramètres sont \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 0.4, \gamma _{2} = 0.1, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\), \(D_h = -0,99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0,005\) et \(D_p = 0,995\)), et \(\phi _j = 0\) et \(\kappa _j = 0,25\) pour les deux \(j = 1,2\). En (f), la ligne noire représente la valeur de l'état stable du système sans effectuer de mesure.

Les figures 7a et 7b montrent les distributions marginales instantanées de Wigner \(W(x_1, p_1)\) de \(\rho _1\) et \(W(x_2, p_2)\) de \(\rho _2\) au temps \ (t = 50\) suffisamment après le transitoire initial, obtenu par un DNS de SME (5). Contrairement à la figure 3f, ces distributions de Wigner ne sont pas stationnaires et continuent de fluctuer en raison de la mesure continue. Chaque distribution est localisée autour de l'un ou l'autre des deux points fixes stables du système classique (4) et tend à prendre l'état opposé à l'autre.

L'anticorrélation entre les états des deux unités est évidente sur les figures 7c à 7f, où l'évolution temporelle des valeurs moyennes des opérateurs de position et d'impulsion des deux unités, \(\langle {x_j}\rangle = \mathrm{Tr }\,[( (a_j + a^\dag _j)/2 )\rho ]\) et \(\langle {p_j}\rangle = -i \mathrm{Tr}\,[( (a_j - a^\ dag _j)/2 )\rho ]\) (\(j = 1,2\)), obtenus à partir d'une seule trajectoire stochastique de SME quantique (5) sont tracés. Les deux unités alternent au hasard entre les deux états non uniformes et ont tendance à prendre des états opposés l'un à l'autre. Ceci indique clairement que la symétrie préservée par le bruit quantique est rompue et que l'asymétrie provoquée par l'instabilité de Turing au sens classique est révélée par l'extraction d'informations sur les variables x des deux unités via une mesure continue.

La figure 7g montre l'évolution temporelle de la négativité \(\mathcal {N}\) sous la mesure continue. Les deux unités sont clairement intriquées et le degré d'intrication fluctue continuellement autour de la valeur de \(\mathcal {N}\) en régime permanent lorsque la mesure n'est pas effectuée.

De même, la figure 8 montre l'effet de la mesure continue dans le régime quantique faible illustré à la figure 4. Nous observons des résultats qualitativement similaires à ceux du cas semi-classique de la figure 7 dans le régime quantique. Bien que la non-uniformité soit moins prononcée, la négativité est légèrement plus grande en moyenne et les fluctuations sont plus fortes en raison de l'effet du bruit de mesure quantique plus fort. Notamment, la négativité prend des valeurs plus importantes que le cas sans effectuer de mesure, indiquant que la brisure de symétrie due à la mesure continue induit un enchevêtrement plus fort dans ce régime.

Instabilité de Turing sous mesure quantique continue dans le régime quantique faible. (a,b) Graphiques instantanés 3D des distributions de Wigner \(W(x_1, p_1)\) et \(W(x_2, p_2)\) à \(t = 49,3\). (c,d,e,f) Évolution temporelle des valeurs moyennes des opérateurs de position et de quantité de mouvement pour deux unités : (c) \(\langle x_1 \rangle\), (d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\), et (f) \(\langle p_2 \rangle\). (g) Evolution temporelle de la négativité \(\mathcal{N}\). Les paramètres sont \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 1.2, \gamma _{2} = 0.5, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\), \(D_h = -0,99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0,005\) et \(D_p = 0,995\)), et \(\phi _j = 0\) et \(\kappa _j = 0,25\) pour les deux \(j = 1,2\). En (f), la ligne noire représente la valeur de l'état stable du système sans effectuer de mesure.

Enfin, nous montrons sur la Fig. 9 l'effet de la mesure continue dans le régime quantique fort illustré sur la Fig. 5. Bien que les fluctuations soient plus fortes en raison de l'effet du bruit de mesure quantique plus fort que les deux cas précédents, la non-uniformité entre deux unités, qui était assez petite sur la Fig. 5, est améliorée et plus explicitement observée sous la mesure continue. De plus, la négativité prend des valeurs plus grandes que le cas sans mesure également dans ce régime quantique fort. Voir également les films supplémentaires pour l'évolution temporelle des distributions marginales de Wigner des deux unités.

Instabilité de Turing sous mesure quantique continue dans le régime quantique fort. (a,b) Graphiques instantanés 3D des distributions de Wigner \(W(x_1, p_1)\) et \(W(x_2, p_2)\) à \(t = 50\). (c,d,e,f) Évolution temporelle des valeurs moyennes des opérateurs de position et de quantité de mouvement pour deux unités : (c) \(\langle x_1 \rangle\), (d) \(\langle x_2 \rangle\) , (e) \(\langle p_1 \rangle\), et (f) \(\langle p_2 \rangle\). (g) Evolution temporelle de la négativité \(\mathcal{N}\). Les paramètres sont \(\Delta = -0.6, \gamma _{1} = 6.2, \gamma _{2} = 3, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\), \(D_h = -0,99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0,005\) et \(D_p = 0,995\)), et \(\phi _j = 0\) et \(\kappa _j = 0,25\) pour les deux \(j = 1,2\). En (f), la ligne noire représente la valeur de l'état stable du système sans effectuer de mesure.

Nous avons théoriquement démontré que l'instabilité de Turing peut se produire dans un système dissipatif quantique. Nous avons montré qu'un oscillateur paramétrique dégénéré avec amortissement non linéaire peut être considéré comme une unité activateur-inhibiteur quantique et que le couplage diffusif entre deux de ces unités activateur-inhibiteur quantique peut donner lieu à une instabilité de Turing lorsque les diffusivités des variables activateur et inhibiteur sont choisies de manière appropriée. . En raison de l'instabilité de Turing, le système devient non uniforme mais reste toujours dans un état symétriquement mélangé par l'effet du bruit quantique. La poursuite de la mesure quantique continue rompt la symétrie et révèle l'asymétrie entre les deux unités.

Nous supposons que la configuration physique supposée dans notre modèle peut, en principe, être mise en œuvre en utilisant des dispositifs expérimentaux actuellement disponibles. L'unité activateur-inhibiteur quantique est essentiellement un oscillateur paramétrique dégénéré avec amortissement non linéaire71. Les termes de couplage par compression peuvent être mis en œuvre en ajustant le paramètre de compression monomode des deux systèmes activateur-inhibiteur quantique et en introduisant une compression bimode76. Le terme de couplage dissipatif pourrait être réalisé en couplant indirectement les deux oscillateurs à travers une cavité supplémentaire et en l'éliminant adiabatiquement77 ; des approches similaires ont également été proposées pour réaliser des couplages dissipatifs entre des ensembles d'atomes16 et des oscillateurs optomécaniques Stuart–Landau14. Une autre approche possible pour la réalisation expérimentale des montages proposés serait d'utiliser l'optomécanique "membrane-in-the-middle"78. Des implémentations physiques de la compression monomode et de l'amortissement non linéaire79, du couplage dissipatif14 et de la compression bimode80 ont également été proposées. Nous nous attendons à ce que nos résultats numériques pour les distributions de Wigner puissent être observés expérimentalement via la tomographie quantique81. La mise en œuvre expérimentale de la mesure quantique continue a également été rapportée récemment82.

Dans cette étude, nous avons analysé numériquement une paire d'unités activateur-inhibiteur quantique qui présente une instabilité de Turing dans la limite déterministe classique. Pour les systèmes classiques, des approches analytiques perturbatives ont été appliquées à l'équation maîtresse classique pour prédire les modèles de Turing stochastiques41,83,84,85. Nous pourrons peut-être utiliser des approches perturbatives similaires pour l'équation maîtresse quantique12 et analyser l'instabilité quantique de Turing plus en détail.

L'unité activateur-inhibiteur quantique pourrait également être mise en œuvre en utilisant des systèmes de spin quantique, ce qui est intéressant car les petits systèmes de spin quantique peuvent nous aider à faire face à l'augmentation exponentielle des dimensions de l'espace de Hilbert pour les grands réseaux quantiques17. Semblable aux études précédentes qui ont discuté des effets Kerr15,86 et des sauts quantiques87 dans la formation de motifs hors d'équilibre dans les systèmes dissipatifs quantiques, il serait important de clarifier la relation entre l'instabilité de Turing et les effets quantiques forts. Une analyse systématique plus détaillée sur la relation entre l'instabilité de Turing et l'intrication est également une étude future.

Bien que nous n'ayons analysé que la configuration minimale à deux unités dans cette étude, nous pouvons également considérer l'instabilité de Turing dans de plus grands réseaux d'unités activateurs-inhibiteurs quantiques, similaire à l'instabilité de Turing dans les réseaux de systèmes activateurs-inhibiteurs classiques 45,46,47,48 ,49. Par rapport aux études précédentes sur les effets quantiques sur la formation de motifs optiques non linéaires35,36, qui ne sont pas faciles à analyser même numériquement car des calculs de tous les produits opérateurs sont nécessaires37, le système activateur-inhibiteur proposé dans cette étude peut être étendu plus facilement à des réseaux plus grands. Ainsi, il peut être utilisé pour révéler la nouvelle émergence de modèles auto-organisés dans les systèmes dissipatifs quantiques, similaires aux études précédentes sur la transition de Kuramoto12, les états de chimère quantique88 et la mort par oscillation89 dans les réseaux d'oscillateurs quantiques Stuart – Landau connectés à l'échelle mondiale. Bien que nous nous soyons concentrés sur une paire d'unités couplées activateur-inhibiteur dans cette étude, nous pouvons également coupler davantage de nombreuses unités sur un réseau ou un réseau d'unités et analyser la formation de motifs spatio-temporels dans des systèmes dissipatifs entièrement mécaniques quantiques.

L'instabilité quantique de Turing peut également trouver des applications techniques. Par exemple, l'amplification du signal près des points de bifurcation a été théoriquement étudiée dans les systèmes biologiques classiques90,91 et d'autres systèmes non linéaires classiques92, à l'échelle nanométrique93 et ​​quantique94, et des amplificateurs de signal utilisant la bifurcation non linéaire ont été mis en œuvre expérimentalement95. De même, la bifurcation de Turing dans les systèmes dissipatifs quantiques peut également offrir de nouvelles applications d'ingénierie pour l'amplification du signal quantique et la détection quantique.

Comme l'instabilité de Turing est un paradigme d'auto-organisation hors d'équilibre dans les systèmes classiques96, nous pensons que nos résultats sur la possibilité d'instabilité de Turing dans les systèmes dissipatifs quantiques jouent également un rôle essentiellement important dans l'étude de l'auto-organisation dans les systèmes quantiques et seront pertinents dans le domaine en plein essor de la technologie quantique.

Un système activateur-inhibiteur classique est généralement décrit par

où \((\point{})\) désigne la dérivée temporelle et x et p représentent respectivement les variables activatrices et inhibitrices. Nous supposons que ce système a un point fixe stable à \((x, p) = ({\bar{x}}, {\bar{p}})\). Dénotant de petites variations de \(({\bar{x}}, {\bar{p}})\) comme \(\delta x = x - {\bar{x}}\) et \(\delta p = p - {\bar{p}}\) et linéariser Eq. (6), on obtient

où nous supposons que les coefficients satisfont

Ce sont les conditions dans lesquelles x est l'activateur et p est l'inhibiteur. Ces conditions standard peuvent être assouplies dans des contextes plus généraux55, mais nous limitons notre attention aux cas remplissant ces conditions.

Nous considérons deux unités activatrices-inhibitrices couplées par diffusion avec des propriétés identiques, décrites par

où \(D_x\) et \(D_p\) représentent les constantes de diffusion des variables activateur et inhibiteur, respectivement. Ce système couplé a un point fixe trivial \((x_1, p_1, x_2, p_2) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}, {\bar{x}}, {\bar{p }})\), ce qui correspond à un état uniforme de tout le système.

Dans l'instabilité de Turing, contrairement à notre intuition, cet état uniforme peut être déstabilisé par l'effet de diffusion lorsque les paramètres satisfont à des conditions appropriées. Pour voir cela, nous linéarisons Eq. (9) comme

où \(\delta x_j = x_j - {\bar{x}}\) et \(\delta p_j = p_j - {\bar{p}}\) (\(j=1, 2\)) sont de petites variations . La valeur propre maximale de la matrice jacobienne dans l'équation. (10) est donné par

Par conséquent, lorsque \(\lambda _{max} > 0\), à savoir, lorsque

le point fixe uniforme \((x_1, p_1, x_2, p_2) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}, {\bar{x}}, {\bar{p}})\ ) du système couplé se déstabilise.

Dans notre modèle, les fonctions f et g sont données par

où \(\gamma _1, \gamma _2, \eta\) et \(\Delta\) sont des paramètres. Les dérivées de f et g en ce point fixe sont données par

Avec les valeurs de paramètres utilisées dans la présente étude, le système unique de l'Eq. (6) a un point fixe stable à \((x, p) = ({\bar{x}}, {\bar{p}}) = (0, 0)\), les conditions de l'équation. (8) pour que le système unique soit du type activateur-inhibiteur sont satisfaites, et la condition pour l'instabilité de Turing dans l'Eq. (12) peut être satisfaite pour une paire d'unités activateur-inhibiteur quantique couplées par diffusion.

Au fur et à mesure que l'instabilité de Turing se produit, le point fixe trivial (0, 0, 0, 0) du système est déstabilisé, et deux nouveaux points fixes stables,

qui correspondent aux états non uniformes de l'ensemble du système, surviennent via la bifurcation en fourche supercritique, où

Avec les valeurs de paramètres utilisées dans cette étude, les dérivées de f et g sont \(f_x = 0,5\), \(f_p = -0,6\), \(g_x = 0,6\) et \(g_p = -0,7\) . Dans les Fig. 3 et 4, la valeur propre maximale du point fixe uniforme est \(\lambda _{max} \approx 0.3724 > 0\); par conséquent, l'instabilité de Turing s'est déjà produite.

On considère généralement un système dissipatif quantique à N modes, qui est couplé à n réservoirs. On note \(a_1, \ldots , a_N\) et \(a_1^{\dag }, \ldots , a_N^{\dag }\) respectivement les opérateurs d'annihilation et de création du système. Une forme générale du QME décrivant ce système dissipatif quantique est donnée par

où \(\rho\) est l'opérateur de densité représentant l'état du système, H est un hamiltonien du système, \(L_{j}\) est un opérateur de couplage entre le système et le jème réservoir \((j=1,\ldots , n)\), et \({\mathcal {D}}[L]\rho = L \rho L^{\dag } - (\rho L^{\dag } L + L^{\dag } L \ rho )/2\) est la forme Lindblad72,73.

En utilisant la méthode standard de représentation de l'espace des phases72,73, nous pouvons introduire la distribution de Wigner \(W({{\varvec{\alpha }}}) \in {{\mathbb {R}}}\) de \( \rho\) comme

où \({{\varvec{\alpha }}} = ( \alpha _1, \alpha ^*_1, \ldots , \alpha _N, \alpha ^*_N ) \in {{\mathbb {C}}}^ {2N}\) représente la variable d'état dans l'espace des phases à 2N dimensions, \(D( {\varvec{\lambda }}, {\varvec{a}}) = \exp \left( \sum _{j} (\lambda _j a_j^{\dagger } - \lambda _j^{*} a_j) \right)\), \(d^{2N} {\varvec{\lambda }} = ré \lambda _1 d \lambda ^ *_1 \ldots d \lambda _N d \lambda ^*_N\), \(\alpha _j, \alpha _j^* \in {\mathbb {C}}\), \(\lambda _j,\lambda _j^ * \in {\mathbb {C}}\), et \({}^*\) indique un conjugué complexe. QME (17) pour l'opérateur de densité \(\rho\) peut être transformé en une équation différentielle partielle pour la distribution de Wigner \(W({{\varvec{\alpha }}})\)72,73, donnée par

Ici, l'opérateur différentiel \({\mathcal {L}}_p\) peut être explicitement calculé à partir de l'équation. (17) en utilisant le calcul standard72,73.

Lorsque l'effet quantique est relativement faible, on peut négliger les termes dérivés supérieurs au second ordre dans l'Eq. (19). Ensuite, en introduisant une représentation à valeur réelle de la variable d'espace des phases, \({\varvec{X}} = (x_1, p_1, \ldots , x_N, p_N)\) avec \(\alpha _j = x_j + i p_j\) (\(j=1, \ldots ,N\)), on peut approximer l'Eq. (19) par la FPE semi-classique pour \(W({{\varvec{X}}})\),

Ici, \({{\varvec{A}}}({\varvec{X}}) \in {\mathbb {R}}^{2N}\) est le vecteur de dérive, et \({{\varvec {D}}}({\varvec{X}}) \in {\mathbb {R}}^{2N \times 2N}\) représente la matrice de diffusion. Le SDE correspondant au FPE ci-dessus est donné par

Ici, \({{\varvec{A}}}({{\varvec{X}}})\) est le même que dans l'équation. (20), la matrice \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) \in {{\mathbb {R}}}^{2N}\) représente l'intensité du bruit satisfaisant \( {{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) {{\varvec{G}}}^T({\varvec{X}}) = {{\varvec{D}}}({ \varvec{X}})\) avec T représentant la transposition de la matrice, et \(d{\varvec{W}} = ( dw_1, \ldots , dw_{2N}) \in {{\mathbb {R}}} ^{2N}\) représente un vecteur de processus de Wiener indépendants satisfaisant \(\langle {dw_k(t)dw_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) avec \(k,l = 1, \ ldots , 2N\). La trajectoire déterministe dans la limite classique est donnée par le terme déterministe de la SDE, à savoir, \(\dot{{\varvec{X}}} = {{\varvec{A}}}({\varvec{X}} )\).

Nous donnons ici des formes explicites de l'équation approximative de Fokker-Planck (FPE) et de l'équation différentielle stochastique semi-classique (SDE) dérivée de l'équation maîtresse quantique (QME) (3) pour deux unités activateur-inhibiteur quantique couplées de manière diffusive,

En utilisant le calcul standard pour la représentation de l'espace des phases72,73, nous pouvons dériver l'équation aux dérivées partielles suivante représentant l'évolution temporelle de la distribution de Wigner \(W({{\varvec{\alpha }}}, t)\) pour \({\varvec{\alpha }} = (\alpha _1, \alpha _1^*,\alpha _2,\alpha _2^*)\) de l'équation. (22) :

où

Ici et désormais, \({\overline{j}}\) désigne \({\overline{j}} = 2\) lorsque \(j=1\) et \({\overline{j}}=1\ ) lorsque \(j = 2\), et cc désigne le conjugué complexe.

Dans le régime semi-classique où \(\gamma _2\) est suffisamment petit, les termes dérivés du troisième ordre dans l'Eq. (23) peut être négligée11,15,89 et les coefficients des termes dérivés du second ordre sont positifs. Par conséquent, l'éq. (23) peut être approché par le FPE

En utilisant une représentation à valeur réelle, c'est-à-dire \({\varvec{X}} = (x_1, p_1, x_2, p_2)\) avec \(\alpha _j = x_j + i p_j~(j = 1,2)\ ), éq. (25) peut être réécrit comme

où

Ainsi, le vecteur de dérive est donné par \({\varvec{A}}({\varvec{X}}) = (A_{x_1}, A_{p_1}, A_{x_2}, A_{p_2})\) et la matrice de diffusion \({{\varvec{D}}}({\varvec{X}})\) est exprimée comme

où nous avons défini

Le SDE correspondant à FPE (26) est donné par

où \({{\varvec{G}}}({{\varvec{X}}})\) satisfait \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) {{\varvec {G}}}^T({\varvec{X}}) = {{\varvec{D}}}({\varvec{X}})\) et \(d{\varvec{W}}(t )\) \(= ( dw_1(t),\) \(dw_2(t),\) \(dw_3(t)\), \(dw_4(t))^T\) est un vecteur de processus de Wiener indépendants satisfaisant \(\langle {dw_k(t)dw_l(t)}\rangle = \delta _{kl} dt\) pour \(k,l = 1,2,3,4\).

Lorsque \(D_{c} = 0\), nous avons \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) = {\text {diag}}\left( \sqrt{v_{ 1}/2}, \sqrt{v_{1}/2}, \sqrt{v_{2}/2}, \sqrt{v_{2}/2} \right)\). Lorsque \(D_{c} \ne 0\), la matrice de diffusion \({\varvec{D}}({\varvec{X}})\) peut être diagonalisée en utilisant la matrice

comme

où

et

Ainsi, la matrice \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}})\) peut être choisie comme \({{\varvec{G}}}({\varvec{X}}) = {\varvec{U}}({\varvec{X}}) \sqrt{{\varvec{D}}'({\varvec{X}})} {\varvec{U}}^{-1} ({\varvec{X}})\)89, c'est-à-dire

En plus du QME, nous effectuons également des simulations numériques directes de SDE semi-classique (30) correspondant à FPE (26) pour montrer la relation des distributions des états quantiques avec les points fixes classiques après l'instabilité de Turing. Par exemple, les figures supplémentaires S1(a) et S1(b) montrent des diagrammes de dispersion d'une trajectoire stochastique de deux unités d'activateur-inhibiteur quantique couplées par diffusion, et la figure S1(c) montre le tracé 2D de la distribution de Wigner \(W( x_{1,2}, p_{1,2})\) sur la figure 3f. Dans les Fig. S1(a) et S1(b), les états des unités 1 et 2 effectuent des allers-retours stochastiques entre les deux points fixes stables à cause du bruit quantique. Ces diagrammes de dispersion concordent avec les distributions de Wigner réparties autour des deux points fixes stables de la figure S1(c).

Nous caractérisons le degré d'effet quantique lorsque le paramètre d'amortissement non linéaire \(\gamma _2\) varie en utilisant la précision de l'approximation semi-classique. L'écart entre l'approximation semi-classique et le QME original caractérise la profondeur du système dans le régime quantique. Pour conserver les paramètres des systèmes classiques correspondants inchangés, le paramètre d'amortissement linéaire est choisi comme \(\gamma _1 = \gamma _1' + 2 \gamma _2\), où \(\gamma _1'\) est une constante, et les autres paramètres sont fixés aux mêmes valeurs que celles utilisées précédemment.

Les figures 10a, 10b et 10c tracent le nombre moyen de photons dans les deux unités et la non-uniformité \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\) en fonction du paramètre d'amortissement non linéaire \(\gamma _2\). Ici, le nombre moyen de photons est calculé comme une moyenne d'ensemble \(\langle { a_j^\dag a_j }\rangle = \mathrm{Tr}\,[ a_j^\dag a_j \rho ]~(j=1,2 )\) de \(a_j^\dag a_j\) obtenu à partir du QME et en moyenne \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j}\rangle _{{\varvec{\alpha }}}\) de \(\alpha _j \alpha ^*_j\) obtenu à partir de l'EDS semi-classique, où la relation

tient approximativement dans le régime semi-classique. Les résultats semi-classiques se rapprochent bien des résultats du QME dans le régime à petit \(\gamma _2\), et l'erreur due à l'approximation semi-classique augmente progressivement avec l'augmentation de \(\gamma _2\). Ainsi, lorsque \(\gamma _2 = 0,1\) (Figs. 2, 3, 6c, 6f et 7), l'approximation semi-classique est valide et le système est dans le régime semi-classique, alors que lorsque \(\gamma _2 = 0,5 \) (Figs. 4, 6d, 6g et 8) et \(\gamma _2 = 3\) (Figs. 5, 6e, 6h et 9), l'approximation semi-classique n'est plus valable et le système est dans le régime quantique . Le degré d'effet quantique peut également être caractérisé par la pureté, comme le montre la figure 10d, où la pureté augmente avec l'augmentation de \(\gamma _2\). Nous montrons également sur la Fig. 10e–10g les éléments de la matrice de densité d'une seule unité \(\rho _1\) par rapport à la base numérique dans les régimes semi-classique (e), quantique faible (f) et quantique fort ( g). Nous voyons que le niveau d'énergie jusqu'auquel les éléments de la matrice de densité prennent une valeur non nulle devient plus faible et la discrétion du spectre d'énergie devient plus importante avec l'augmentation de \(\gamma _2\).

Caractérisation du régime quantique : nombre moyen de photons, non-uniformité, pureté et éléments de la matrice de densité d'une seule unité vs. \(\gamma_2\). (a) Nombre moyen de photons de l'unité 1. (b) Nombre moyen de photons de l'unité 2. (c) Distance quadratique moyenne \(\sqrt{\langle {(x_1 - x_2)^2}\rangle }\) (d ) Pureté P. (e–g) Éléments de la matrice de densité d'une seule unité \(\rho _1\) par rapport à la base numérique dans les régimes semi-classique (e), quantique faible (f) et quantique fort (g ). En (a–c), résultats obtenus à partir de l'EDS semi-classique \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j}\rangle _{{\varvec{\alpha }}} - 1/2\) (points rouges) et QME \(\langle {a_j^\dag a_j}\rangle\) (lignes bleues) (\(j=1, 2\)) sont affichés, où \(\langle {\alpha _j \alpha ^*_j} \rangle _{{\varvec{\alpha }}}\) est calculé comme une moyenne temporelle de \(\alpha _j(t) \alpha ^*_j(t)\) sur un intervalle de temps de longueur 30000 après la première transitoire. Les paramètres sont \(\Delta = -0.6, \theta = \pi\), \(\eta = 0.3\), \(D_h = -0.99\), \(D_c = 1\) (\(D_x = 0.005 \) et \(D_p = 0,995\)), et \(\gamma _{1} = \gamma '_1 + 2 \gamma _2\) avec \(\gamma '_1 = 0,2\). Dans (par exemple), \(\gamma _2 = 0,1\) (e), \(\gamma _2 = 0,5\) (f), \(\gamma _2 = 3\) (g).

Nous utilisons la négativité \({\mathcal {N}} = ({\left\| \rho ^{\Gamma _{1}}\right\| _{1}-1})/{2}\) pour quantifier l'intrication quantique des deux unités, où \(\rho ^{\Gamma _{1}}\) représente la transposition partielle de l'opérateur de densité \(\rho\) du système à deux modes avec les unités 1 et 2 par rapport à l'unité 1 et \(\left\| X\right\| _{1}={\text {Tr}}|X|={\text {Tr}} \sqrt{X^{\dagger } X }\)97,98. Une négativité non nulle indique que les deux unités sont intriquées. Notez que la négativité \(\mathcal{N}' = ({\left\| \rho ^{\Gamma _{2}}\right\| _{1}-1})/{2}\) calculée avec par rapport à l'unité 2 est égal à la négativité \(\mathcal{N}\) calculée par rapport à l'unité 1.

Toutes les données générées ou analysées au cours de cette étude sont incluses dans cet article publié et ses fichiers d'informations supplémentaires.

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Des simulations numériques ont été réalisées à l'aide de la boîte à outils numérique QuTiP99,100. Nous reconnaissons JSPS KAKENHI JP17H03279, JP18H03287, JPJSBP120202201, JP20J13778, JP22K14274, JP22K11919, JP22H00516 et JST CREST JP-MJCR1913 pour le soutien financier.

Département des systèmes complexes et intelligents, Future University Hakodate, Hokkaido, 041-8655, Japon

Yuzuru Kato

Department of Systems and Control Engineering, Tokyo Institute of Technology, Tokyo, 152-8552, Japon

Hiroya Nakao

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Les deux auteurs ont conçu l'étude, effectué l'analyse et contribué à la rédaction de l'article. YK a effectué des simulations numériques.

Correspondance à Yuzuru Kato.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Film supplémentaire S1.

Film supplémentaire S2.

Film supplémentaire S3.

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Réimpressions et autorisations

Kato, Y., Nakao, H. Instabilité de Turing dans les systèmes activateurs-inhibiteurs quantiques. Sci Rep 12, 15573 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-19010-0

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Reçu : 07 avril 2022

Accepté : 23 août 2022

Publié: 16 septembre 2022

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-022-19010-0

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