Grands Goos positifs et négatifs contrôlables

Oct 15, 2023

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 3789 (2023) Citer cet article

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Nous étudions le déplacement Goos–Hänchen (GHS) d'un faisceau lumineux réfléchi par une cavité contenant un milieu atomique double \(\Lambda\) délimité par deux plaques de verre. L'application de champs cohérents et incohérents au milieu atomique conduit à une contrôlabilité positive et négative du GHS. Pour certaines valeurs spécifiques des paramètres du système, l'amplitude du GHS devient grande, à savoir de l'ordre de \(\sim 10^{3}\) fois la longueur d'onde du faisceau lumineux incident. Ces grands décalages se retrouvent à plus d'un angle d'incidence avec une large gamme de paramètres du milieu atomique.

Le décalage Goos-Hänchen (GHS) est un phénomène qui se produit lorsqu'un faisceau lumineux est incident sur un milieu avec un indice de réfraction inférieur à celui du milieu d'incidence. Pour un angle d'incidence supérieur à l'angle critique, le faisceau incident pénètre sur une certaine distance à l'intérieur du deuxième milieu1,2,3,4,5,6 et se réfléchit vers le premier milieu (incident), dans lequel le faisceau réfléchi est latéralement décalé à l'interface à partir du point où le faisceau incident est entré dans le deuxième milieu. Ce déplacement latéral est nommé Goos–Hänchen shift après sa démonstration expérimentale en 1947 par Goos et Hänchen7,8. Plusieurs propositions théoriques ont été proposées pour calculer le GHS comme la méthode de la phase stationnaire, qui a été développée par Artmann9. Une autre méthode basée sur le concept de conservation de l'énergie a été introduite par Renard pour calculer théoriquement le GHS10.

De nombreuses structures et conceptions avec différents matériaux ont été proposées pour mesurer et contrôler le GHS. Par exemple, étudier le GHS dans des milieux à faible absorption11,12,13 et dans une dalle epsilon proche de zéro14,15. Aussi, dans différents arrangements de cristaux photoniques défectueux et normaux16,17,18. D'autres exemples d'investigation du SGH incluent l'utilisation de deux couches de milieux artificiels différents19,20,21, une cavité contenant des ferrofluides colloïdaux22 et des couches de graphène23,24 sont tous rapportés. Plus récemment, un GHS avec une amplitude atteignant quatre fois la longueur d'onde de la lumière incidente est obtenu dans une structure contenant une couche de réseau périodique25,26. En plus de tous les exemples précédents, le GHS a également été observé expérimentalement pour un faisceau transmis dans des dalles de cristal photonique unidimensionnelles27.

D'autre part, divers milieux atomiques où les propriétés optiques de ces milieux peuvent être modifiées par certains paramètres externes tels que les champs cohérents ont été proposés et appliqués à des fins différentes28,29,30,31,32,33. L'utilisation de tels milieux atomiques pour manipuler et contrôler le GHS34,35,36,37,38 a été suggérée. In34, un système piloté à deux niveaux est utilisé dans une cavité à trois couches pour contrôler de manière cohérente le GHS. Dans37,39, le GHS est étudié en utilisant la même structure de cavité et contenant un schéma atomique \(\Lambda\), où des décalages latéraux positifs et négatifs ont été rapportés. De plus, différentes structures atomiques à quatre niveaux40,41,42 dont le système atomique double-\(\Lambda\)43,44 sont étudiées avec différentes techniques.

Dans ce rapport, nous montrons que le système atomique double-\(\Lambda\), qui a deux interactions de sonde, peut être utilisé pour produire un grand GHS de l'ordre de \(10^3 \lambda\). Le schéma double-\(\Lambda\) a une caractéristique de dispersion contrôlable relativement importante supérieure au schéma atomique \(\Lambda\) avec une absorption limitée45. Cette grande contrôlabilité fait du schéma double-\(\Lambda\) un excellent candidat pour produire de très grands GHS. Par conséquent, nous étudions l'effet de différents paramètres sur le GHS dans une cavité contenant trois couches où la couche médiane est remplie par les atomes double-\(\Lambda\).

Nous considérons qu'un champ lumineux polarisé TE avec une fréquence \(\omega _{p}\) est incident depuis le vide avec un angle \(\theta\) sur une cavité constituée de trois couches de matériaux non magnétiques. Les première et dernière couches sont identiques et ont une épaisseur \(d_1\), tandis que la couche médiane a une épaisseur \(d_2\) comme le montre la figure 1a. La permittivité électrique des couches de bord et intracavité est \(\epsilon _1\) et \(\epsilon _2\), respectivement. Le milieu atomique double-\(\Lambda\) est placé dans la deuxième couche. Le système atomique illustré à la figure 1b comporte quatre niveaux (\(|a\rangle\), \(|b\rangle\), \(|c\rangle\) et \(|d\rangle\)) où les transitions \(|a\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(|d\rangle\) et \(|b\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(|d\rangle\) sont couplées par deux champs de sonde de fréquences de Rabi \(\Omega _p^-\) et \(\Omega _p^+\), respectivement. Deux champs cohérents forts pilotent les transitions \(|a\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(|c\rangle\) et \(|b\rangle\) \(\leftrightarrow\) \(|c\ range\) avec les fréquences de Rabi \(\Omega _\mu ^-\) et \(\Omega _\mu ^+\), respectivement. De plus, le système est pompé par deux champs incohérents de l'état \(|d\rangle\) vers \(|a \rangle\) et \(|b \rangle\) avec le même taux r. Le système double-\(\Lambda\) existe par exemple dans le rubidium et le sodium46,47. On choisit la transition D\(_{2}\) dans \({}^{85}\)Rb où les états \(|a\rangle\) et \(|b\rangle\) correspondent aux niveaux hyperfins avec \(F=4, m_{F} = 0\) et \(F=3, m_{F} = 0\), respectivement. Les niveaux inférieurs \(|c \rangle\) et \(|d \rangle\) correspondent au niveau hyperfin \(F=3\) avec des sous-niveaux magnétiques \(m_{F} = +1\) et \(m_ {F} = -1\), respectivement. Par conséquent, des champs polarisés circulairement droit et gauche (\(\sigma ^{\pm }\)) sont utilisés à la fois pour les champs de sonde et d'entraînement. Tous les différents champs sont supposés être homogènes dans toute la cavité.

L'hamiltonien du système atomique double-\(\Lambda\)45 dans les approximations du dipôle et de l'onde tournante s'écrit

où \(\omega _{a}, \omega _{b}, \omega _{c},\) et \(\omega _{d}\) sont les fréquences des niveaux d'énergie \(|a\rangle , |b\rangle , |c\rangle ,\) et \(|d\rangle\), respectivement. Les fréquences de Rabi des deux champs sondes sont \(\Omega _p^-\) et \(\Omega _p^+\), alors que les fréquences de Rabi des champs pilotes sont \(\Omega _\mu ^-\) et \(\Oméga _\mu ^+\). Les désaccords dans l'Eq. (1) sont définis tels que \(\Delta _{1} = \omega _{ad} - \omega _{p}\), \(\Delta _{2} = \omega _{bd} - \omega _{p}\), \(\Delta _{3} = \omega _{bc} - \omega _{\mu }\), et \(\Delta _{4} = \omega _{ac} - \omega _{\mu }\), où nous avons supposé que les deux champs de sonde ont la même fréquence \(\omega _{p}\), et les deux champs conducteurs ont la même fréquence \(\omega _\mu\ ). Les équations de mouvement pour les éléments de la matrice de densité peuvent être dérivées à l'aide de l'équation principale45,48 avec l'équation hamiltonienne. (1). Ces équations de mouvement peuvent être résolues au premier ordre à l'état d'équilibre lorsque l'on considère la sonde faible du système. La permittivité de la couche intermédiaire \(\varepsilon _{2}\) est définie en termes de susceptibilité du système atomique comme \(\varepsilon _{2} = 1+ \chi\). La susceptibilité diélectrique du système45 comporte deux parties \(\chi _{ad}\) et \(\chi _{bd}\), qui proviennent des interactions de la double sonde avec le milieu atomique. Par conséquent, la susceptibilité est exprimée par \(\chi = \chi _{ad} + \chi _{bd}\) où ces deux parties sont données par

et

où \(D_{bd}=\gamma _{bd}-i(\Delta +\omega _{ab}/2)\), \(D_{ad}=\gamma _{ad}-i(\Delta -\omega _{ab}/2)\), \(D_{cd}=\gamma _{cd}-i(\Delta _\mu +\Delta )\), \(D_{bc}=\gamma _{bc}+i(\Delta _\mu -\omega _{ab}/2)\) et \(D_{ac}=\gamma _{ac}+i(\Delta _\mu +\omega _ {ab}/2)\).

(a) Configuration de la cavité à trois couches, constituée de deux plaques de verre de même épaisseur \(d_1\) entourant une intracavité d'épaisseur \(d_2\). Un faisceau lumineux est incident sur la cavité avec un angle d'incidence \(\theta\) et le faisceau réfléchi est décalé latéralement sur l'axe y. Ce décalage latéral \(S_r\) est connu sous le nom de décalage Goos-Hänchen (GHS). (b) Le schéma atomique double-\(\Lambda\), qui est placé dans l'intracavité pour contrôler le GHS.

Le paramètre \(P_{ij} = \rho ^{(0)}_{ii}- \rho ^{(0)}_{jj}\), est la différence de population entre les états \(|i\rangle \) et \(|j\rangle\) où \(i, j \in (a, b, c, d)\). Les expressions de ces populations sont données comme45

Les expressions détaillées des autres paramètres \(a_{1}\), \(a_{2}\), \(a_{3}\), \(a_{4}\), \(R_{a} \), et \(R_{b}\) se trouvent dans4 Les taux de décroissance sont notés \(\gamma _i\), et \(\gamma _{ij} =(\gamma _i+\gamma _j)/2\), est la moyenne des taux de décroissance des états \(| je \rangle\) et \(|j ​​​​\rangle\). Les valeurs des taux de décroissance sont \(\gamma_{a} = \gamma_{b} = 0,7 \gamma\), \(\gamma_{A} = \gamma_{B} = 0,2 \gamma\) , \ (\gamma _{ab} = \gamma _{cd} = 0\), et \(\gamma _{ac} = \gamma _{bc} = \gamma _{ad} = \gamma _{bd} } = (\gamma _{a} + \gamma _{A})/2 = 0,5 \gamma\), où \(\gamma = 10\) MHz. Les paramètres \(\Delta\) et \(\Delta_\mu\) sont définis comme \(\Delta =\omega_{p} - {W_{p}}\) et \(\Delta_\mu = {W_{ \mu}} -\omega_{\mu}\), où \({W_{p}} = (\omega_{ad}+\omega_{bd})/2\), \( {W_{\mu} } = (\omega _{ac}+\omega _{bc})/2\), et \(\omega _{ij} = \omega _i-\omega _j\) est la différence d'énergie entre les deux états \ (|i \rangle\) et \(|j ​​​​\rangle\). \(\mathscr{A}, \mathscr{B}, \mathscr{C}\) sont les paramètres de densité. De plus, \(\Omega_\mu^+ = \Omega_\mu^-/\alpha\), où \(\alpha\) est le rapport entre les deux champs moteurs.

Le GHS du champ lumineux polarisé TE réfléchi \(S_{r}\) peut être calculé à l'aide du résultat de la théorie de la phase stationnaire9 , qui est donné par

où \(k_{y} = k {\sin } \theta\) est la composante parallèle du vecteur d'onde, \(k = \omega _{p} /c\) où c est la vitesse de la lumière dans le vide. La fonction \(\phi _{r}\) représente le déphasage , qui correspond au champ réfléchi. Le déphasage du champ polarisé TE réfléchi est directement lié au coefficient de réflexion \(r^{{\textrm{TE}}}\) via \(\phi _{r} = {\tan }^{-1 } \big [ {\textrm{Im}}(r^{{\textrm{TE}}})/{\textrm{Re}}(r^{{\textrm{TE}}}) \big ]\) .

Nous calculons le coefficient de réflexion \(r^{{\textrm{TE}}}\) de la cavité à trois couches pour le champ polarisé TE en utilisant l'approche de matrice caractéristique standard49,50, qui permet de connecter le champ à travers les couches du cavité. En suivant la même approche que, par exemple dans 34,37, le coefficient de réflexion pour le champ polarisé TE \ (r ^ {{\ textrm {TE}}} \) est donné par

où \({X}^{{\textrm{TE}}}_{ij}\) est l'élément matriciel de la matrice de transfert totale de la cavité à trois couches. La matrice de transfert totale pour notre configuration est donnée par

Pour toute couche unique, la matrice de transfert peut être calculée à partir de

où \(\sin \theta _{j}=\sin \theta /n_{j}\), \(k=\omega _{p}/c\) est le nombre d'onde du champ de sonde incident dans le vide avec fréquence de sonde \(\omega _p\), tandis que \(n_{j}\) est l'indice de réfraction de la jème couche dans la cavité, et \(d_j\) est l'épaisseur de la jème couche.

Les paramètres de notre configuration peuvent être sélectionnés pour être similaires à la plupart des articles appliquant la même cavité à trois couches. L'épaisseur des couches est \(d_1 = 0,2 \;\, {\mu \textrm{m}}\), \(d_2 = 5 \,\, {\mu \textrm{m}}\), et la la permittivité des couches de bord est \(\epsilon _1 =2.22\). Ensuite, les paramètres du milieu atomique double-\(\Lambda\) sont45 les suivants : \(\omega _{ab} = 12,1 \gamma\), \(W = 2 \pi \times 300\) THz, \ (\Delta = -5 \gamma\), \(\Delta _\mu = 0\), \(\mathscr{A} = 1,1 \gamma\), \(\mathscr{B} = 1,05 \gamma\) , et \(\mathscr{C} =\gamma\), où \(\gamma =10\) MHz. Les paramètres libres qui seront étudiés sont \(\Omega _\mu\), r, et \(\theta\), où \(\Omega _\mu ^- = \Omega _\mu ^+ = \Omega _\mu\) et \(\alpha =1\).

Ensuite, nous procédons aux calculs du GHS. Pour avoir un aperçu de la capacité de notre système à contrôler le GHS, nous traçons le GHS du faisceau réfléchi en fonction de l'angle d'incidence \(\theta\) de 0 à \(\pi /2\) pour certains paramètres sélectionnés de le milieu atomique. Nous voyons sur la figure 2 que l'amplitude et la direction du GHS peuvent être modifiées lors de la modification de r. Inutile de mentionner que notre système est réglé et contrôlé à distance en manipulant simplement les valeurs de la pompe r et de la fréquence Rabi des champs moteurs \(\Omega _\mu\) produisant un changement significatif dans le comportement du GHS, tandis que la cavité structure est conservée intacte.

(a) et (b) montrent la phase relative du faisceau réfléchi par rapport à l'angle d'incidence \(\theta\). (c) et (d) montrent la dépendance du GHS du faisceau lumineux réfléchi sur l'angle d'incidence \(\theta\). Les valeurs du débit de pompage sont \(r = 0,5 \gamma\) en (a) et (c), tandis que \(r = 3 \gamma\) en (b) et (d). Le champ moteur \(\Omega _{\mu } = 2 \gamma\) dans (a)–(d). L'amplitude du GHS devient importante aux angles d'incidence où des changements de phase brusques se produisent. D'autres paramètres sont indiqués dans le texte.

Dans ce qui suit, nous étudions la dépendance du décalage latéral du faisceau réfléchi sur les paramètres externes r et \(\Omega _\mu\). Notre but est de voir le comportement du GHS en ne changeant que les paramètres du milieu atomique, à savoir r et \(\Omega _\mu\), et sans changer la structure de la cavité. Nous pouvons également découvrir quelles valeurs de r et \(\Omega _\mu\) peuvent produire de grands GHS.

Nous étudions l'effet du débit de pompage r sur le GHS alors que les champs moteurs sont fixes. Sur la figure 3, nous traçons le GHS du faisceau lumineux réfléchi \(S_r\) en fonction de r pour différentes valeurs de \(\Omega _\mu\), tandis que l'angle d'incidence est supposé être \(\theta = { 62^{\circ }}\). Le GHS de la Fig. 3 peut être positif ou négatif pour les valeurs sélectionnées de \(\Omega _\mu\). Sur la figure 3a, on remarque qu'autour de certaines valeurs spécifiques du débit de pompage r, le GHS est grand par rapport à la longueur d'onde du faisceau lumineux incident, c'est-à-dire de l'ordre de \(10^{2} \lambda\ ) lorsque \(\Omega _\mu = 5 \gamma\). Lorsque \(\Omega _\mu = 7 \gamma\), un grand GHS positif de l'ordre de près de \(10^{3} \lambda\) se produit à \(r \approx 3 \gamma\) comme on le voit sur la figure 3b.

Le GHS du champ lumineux réfléchi \(S_r\) en fonction du débit de pompage r pour différentes valeurs de champs moteurs \(\Omega _\mu\). Les valeurs de champ pilote dans (a) sont \(\Omega _{\mu }=3 \gamma\) (solide) et \(\Omega _{\mu }=5 \gamma\) (pointillés). De même, \(\Omega _{\mu }=7 \gamma\) (solide) et \(\Omega _{\mu }=20 \gamma\) (pointillés) dans (b). D'autres paramètres sont indiqués dans le texte.

Dans cette sous-section, nous explorons la dépendance du GHS du faisceau réfléchi sur la fréquence de Rabi des champs conducteurs \(\Omega _\mu\). De l'étude précédente (Sec. III. A), nous avons obtenu de grands GHS à certaines valeurs de r. La figure 4 montre la dépendance du GHS vis-à-vis de \(\Omega _\mu\), où de grands GHS négatifs et positifs se produisent sur une certaine plage de \(\Omega _\mu\).

La dépendance du GHS aux champs moteurs \(\Omega _\mu\) pour différentes valeurs de débits de pompage r. D'autres paramètres sont indiqués dans le texte.

Sur la figure 4a, nous traçons le GHS avec \(\Omega _\mu\) pour deux valeurs différentes de r. Nous observons de grands décalages positifs de l'ordre de \(~ 10^2 \lambda\) sur une gamme relativement large de \(\Omega _\mu\). Cela indique qu'il est flexible de choisir la valeur de \(\Omega _\mu\) qui produit un GHS positif important dans cette situation.

Sur la figure 4b, nous voyons que de grands décalages sont obtenus à différents points de \(\Omega _\mu\) lorsque r est modifié. Par exemple, lorsque \(r = 3 \gamma\), on observe un grand GHS positif, c'est-à-dire , \(S_{r} \approx - 10^{3} \lambda\) à \(\Omega _\mu \ environ 7 \gamma\). En fait, ces grands décalages sont continus dans la plage choisie des valeurs de r. Par conséquent, cela suggère que nous pouvons choisir une paire (r, \(\Omega _\mu\)) qui produit de grands décalages dans les ordres de \(~ 10^3 \lambda\).

Jusqu'à présent, l'analyse du GHS a été effectuée lorsque l'angle d'incidence est \(\theta = {62^{\circ }}\). Il convient de souligner que tous les angles sous nos paramètres sélectionnés ne peuvent pas nécessairement produire de grands décalages. Ici, nous montrons que de grands GHS positifs ou négatifs à d'autres valeurs sélectionnées de l'angle d'incidence peuvent encore être observés.

Le GHS du faisceau réfléchi contre le champ moteur \(\Omega _\mu\) pour différentes valeurs du débit de pompage r. Les angles d'incidence dans (a) et (b) sont \(\theta ={56^{\circ }}\) et \(\theta = {65^{\circ }}\), respectivement. D'autres paramètres sont indiqués dans le texte.

Sur la Fig. 5, on voit que le GHS du faisceau réfléchi atteint des valeurs d'ordre \(10^3 \lambda\) sous des valeurs spécifiques du couple (r, \(\Omega _\mu\)). Dans tous les résultats rapportés pour les angles sélectionnés ici, nous observons de grands GHS positifs et négatifs lorsque la valeur de r est modifiée. Par exemple, sur la Fig. 5a où l'angle d'incidence est \(\theta = {56^{\circ }}\), le GHS atteint un ordre de \(10^3 \lambda\), ce qui est relativement grand décalage où cela se produit à une large gamme de \(\Omega _\mu\). De même, sur la figure 5b, où l'angle d'incidence est supposé être \(\theta = {65^{\circ }}\), de grands GHS positifs et négatifs sont observés pour certaines valeurs spécifiques de r pour une petite plage de \( \Oméga _\mu\). Ainsi, pour chaque angle, pour trouver un grand GHS, il faut effectuer une sorte d'optimisation afin de trouver la valeur appropriée de la paire (r, \(\Omega _\mu\)) à laquelle un grand décalage peut se produire.

Tous les résultats précédents du GHS sont obtenus en utilisant l'expression dérivée par Artmann Eq. (5)6,9. Artmann a dérivé ce résultat pour calculer le GHS en supposant que le faisceau incident est une onde plane. Lors de la mesure expérimentale du GHS, on considère généralement un faisceau laser, qui a un profil gaussien. Comme indiqué dans34, nous examinons la validité de l'expression d'Artmann en considérant que la lumière incidente dans notre système est un faisceau gaussien, qui peut être écrit comme

De même, le faisceau lumineux réfléchi à l'interface est donné par

Ici \(B(k_{y})\) est la distribution spectrale angulaire du faisceau de Gaussain , qui est donnée par

avec \(W_{y} = W/{\cos } \theta\) et \(k_{y0} = k {\sin } \theta\), où W représente la demi-largeur du faisceau gaussien à l'interface. La position de la distribution d'intensité normalisée maximale des faisceaux incident et réfléchi à l'interface (\(z=0\)) peut être calculée par

où les exposants i et r indiquent respectivement les faisceaux incident et réfléchi. Le GHS dans cette situation est donné par la différence entre les positions des points maximaux du profil d'intensité des faisceaux incident et réfléchi, c'est-à-dire \(\langle {y^{r}} \rangle - \langle {y^{ je}} \rangle\). Nous choisissons \(W = 100 \lambda\) dans les calculs du GHS en utilisant Eq. (12). Dans la Fig. 6a, \(\langle {y^{r}} \rangle - \langle {y^{i}} \rangle \approx -28 \,\, {\mu \textrm{m}}\) et dans la Fig. 6b \(\langle {y^{r}} \rangle - \langle {y^{i}} \rangle \approx 13 \,\, {\mu \textrm{m}}\). Ces résultats du décalage latéral concordent avec les résultats , qui sont calculés à l'aide de l'approche de phase stationnaire représentée sur les Fig. 2a, 3b, respectivement. Par conséquent, cette méthode confirme la validité de la formule d'Artmann Eq. (5) du SGH.

La distribution d'intensité normalisée des faisceaux lumineux incident (continu) et réfléchi (en pointillés) avec \(W = 100 \lambda\). L'angle d'incidence en (a) est \(\theta = {44,6^{\circ }}\) avec \(r=0,5 \gamma\) et \(\Omega _{\mu }=2 \gamma\) . Dans (b), \(\theta ={30^{\circ }}\) avec \(r= 3 \gamma\) et \(\Omega _{\mu }=2 \gamma\). D'autres paramètres sont indiqués dans le texte.

Nous avons étudié le contrôle du GHS du faisceau lumineux réfléchi à l'aide d'un milieu atomique double \(\Lambda\) placé à l'intérieur d'une cavité délimitée par deux plaques de verre. Nous avons montré que le GHS du faisceau réfléchi peut être contrôlé à distance en changeant simplement les valeurs de la pompe r et de la fréquence Rabi des champs moteurs \(\Omega _\mu\), tandis que la structure de la cavité est conservée intacte. Nous avons également constaté que notre système est capable de produire de très grands GHS d'ordres \(10^{3} \lambda\) à plus d'un angle d'incidence.

Les ensembles de données qui prennent en charge les tracés de cet article sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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Anas Othman reconnaît le soutien financier de l'Université de Taibah. Ce travail est également soutenu par une subvention de King Abdulaziz City for Science and Technology (KACST).

Département de physique, Faculté des sciences, Université de Taibah, Al Madinah Al Munawwarah, Arabie saoudite

Anas Othman

Institut des technologies quantiques et de l'informatique avancée, KACST, Riyad, 11442, Arabie saoudite

Saeed Asiri et M. Al-Amri

NCQOQI, KACST, Riyad, 11442, Arabie Saoudite

M. Al-Amri

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MA a conçu l'idée et supervisé le projet. AO et SA ont effectué les calculs théoriques et analysé les résultats. Tous les auteurs ont contribué à la rédaction du manuscrit.

Correspondance à Saeed Asiri.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Othman, A., Asiri, S. et Al-Amri, M. Grands décalages Goos-Hänchen positifs et négatifs contrôlables avec un système atomique à double Lambda. Sci Rep 13, 3789 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-30632-w

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Reçu : 22 décembre 2022

Accepté : 27 février 2023

Publié: 07 mars 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-30632-w

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